צריך לעשות ביטול חמץ במקום ציבורי?

לא. אתה מדבר על הפקר שצריך שיהיה לכולם אך כבר העירו אחרונים שאין ביטון חמץ ממש מדין הפקר ולכל מותר לבטל בשבת.