מותר לבעוט באבן בשבת?

לא.

אבן נקראת "מוקצה מחמת גופו" - אין לה שום שימוש בשבת ולכן אסור להזיז אותה בשבת

איסור זה כמו כל המוקצה, מדרבנן

אלא אם כן, זו אבן שייחדו אותה לשימוש מראש, כגון אבן שנועדה להחזיק דלת שלא תיסגר